Wzory skróconego mnożenia 3. stopnia dotyczą wyrażeń zawierających sześciany. Najważniejsze z nich to sześcian sumy, sześcian różnicy, suma sześcianów i różnica sześcianów:
[
(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3
]
[
(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3
]
[
a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)
]
[
a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)
]
Pierwsze dwa wzory służą przede wszystkim do rozwijania potęgi dwumianu, a dwa kolejne do rozkładania sum algebraicznych na czynniki. Dzięki nim można szybciej upraszczać wyrażenia, wykonywać obliczenia, rozwiązywać równania i przekształcać wielomiany. Takie zastosowania wskazują również materiały edukacyjne Zintegrowanej Platformy Edukacyjnej.
Czym są wzory skróconego mnożenia 3. stopnia?
Określenie „wzory skróconego mnożenia 3. stopnia” jest potocznym sposobem nazywania wzorów związanych z trzecią potęgą, czyli sześcianem. Nie chodzi o jedno równanie, lecz o grupę czterech podstawowych tożsamości algebraicznych.
Słowo „tożsamość” oznacza, że równość jest prawdziwa dla wszystkich dopuszczalnych wartości zmiennych. Jeżeli więc za (a) i (b) podstawimy liczby rzeczywiste, obie strony danego wzoru będą miały tę samą wartość.
Wzory te są „skrócone”, ponieważ zastępują dłuższe mnożenie. Zamiast obliczać:
[
(a+b)(a+b)(a+b),
]
możemy od razu zapisać:
[
a^3+3a^2b+3ab^2+b^3.
]
Nie oznacza to jednak, że wzór wykonuje obliczenie automatycznie. Trzeba prawidłowo rozpoznać wyrażenia (a) i (b), uwzględnić nawiasy, znaki oraz potęgi.
Wzór skróconego mnożenia 3. stopnia – najważniejsze postacie
| Nazwa wzoru | Postać |
|---|---|
| Sześcian sumy | ((a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3) |
| Sześcian różnicy | ((a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3) |
| Suma sześcianów | (a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)) |
| Różnica sześcianów | (a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)) |
Te cztery równości wyglądają podobnie, ale rozwiązują dwa różne typy problemów.
Jeżeli sześcian znajduje się na zewnątrz nawiasu, na przykład ((x+2)^3), stosujemy wzór na sześcian sumy lub różnicy.
Jeżeli mamy sumę albo różnicę dwóch osobnych sześcianów, na przykład (x^3-8), korzystamy ze wzoru na sumę lub różnicę sześcianów.
To rozróżnienie jest kluczowe, ponieważ:
[
(a+b)^3 \neq a^3+b^3
]
dla większości wartości (a) i (b). W rozwinięciu sześcianu sumy występują również dwa wyrazy mieszane: (3a^2b) i (3ab^2).
Sześcian sumy
Wzór na sześcian sumy ma postać:
[
(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3.
]
Po prawej stronie pojawiają się cztery składniki. Potęga pierwszego wyrażenia maleje od 3 do 0, natomiast potęga drugiego rośnie od 0 do 3:
[
a^3,\quad 3a^2b,\quad 3ab^2,\quad b^3.
]
Współczynniki wynoszą kolejno (1, 3, 3, 1). To trzeci wiersz trójkąta Pascala, jeśli numerowanie rozpoczynamy od wiersza zerowego. Tę samą strukturę widać we wzorze dwumianowym.
Przykład 1: proste rozwinięcie
Rozwińmy:
[
(x+2)^3.
]
Podstawiamy:
[
a=x,\qquad b=2.
]
Następnie:
[
(x+2)^3=x^3+3x^2\cdot2+3x\cdot2^2+2^3.
]
Po obliczeniu:
[
(x+2)^3=x^3+6x^2+12x+8.
]
W drugim składniku podnosimy do kwadratu tylko (x), a w trzecim tylko liczbę 2. To częste miejsce pomyłek.
Przykład 2: dwa wyrażenia algebraiczne
Rozwińmy:
[
(2x+3y)^3.
]
Tutaj:
[
a=2x,\qquad b=3y.
]
Zatem:
[
(2x+3y)^3=(2x)^3+3(2x)^2(3y)+3(2x)(3y)^2+(3y)^3.
]
Liczymy każdy składnik:
[
(2x)^3=8x^3,
]
[
3(2x)^2(3y)=3\cdot4x^2\cdot3y=36x^2y,
]
[
3(2x)(3y)^2=3\cdot2x\cdot9y^2=54xy^2,
]
[
(3y)^3=27y^3.
]
Ostatecznie:
[
(2x+3y)^3=8x^3+36x^2y+54xy^2+27y^3.
]
Sześcian różnicy
Wzór na sześcian różnicy wygląda następująco:
[
(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3.
]
Znaki występują naprzemiennie:
[
+,\quad -,\quad +,\quad -.
]
Wynika to z obecności liczby przeciwnej do (b). Można bowiem potraktować różnicę jako sumę:
[
a-b=a+(-b)
]
i zastosować wzór na sześcian sumy.
Przykład 1: różnica zmiennej i liczby
Rozwińmy:
[
(x-4)^3.
]
Podstawiamy:
[
a=x,\qquad b=4.
]
Otrzymujemy:
[
(x-4)^3=x^3-3x^2\cdot4+3x\cdot4^2-4^3.
]
Po uproszczeniu:
[
(x-4)^3=x^3-12x^2+48x-64.
]
Trzeci składnik jest dodatni. To ważne: we wzorze na sześcian różnicy nie wszystkie wyrazy po pierwszym mają znak minus.
Przykład 2: współczynnik przy zmiennej
Rozwińmy:
[
(3x-2)^3.
]
Stosujemy wzór:
[
(3x-2)^3=(3x)^3-3(3x)^2\cdot2+3(3x)\cdot2^2-2^3.
]
Czyli:
[
(3x-2)^3=27x^3-54x^2+36x-8.
]
Najbezpieczniej pozostawić nawiasy przy (3x) aż do chwili wykonania potęgowania. Zapis (3x^3) zamiast ((3x)^3=27x^3) prowadziłby do błędnego wyniku.
Suma sześcianów
Wzór na sumę sześcianów to:
[
a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2).
]
Jego głównym zastosowaniem jest rozkład wyrażenia na czynniki. Pierwszy nawias zawiera sumę podstaw sześcianów. W drugim występują kwadrat pierwszej podstawy, ujemny iloczyn podstaw i kwadrat drugiej podstawy.
W polskich materiałach dydaktycznych drugi czynnik bywa nazywany niepełnym kwadratem różnicy. Nie jest on jednak równy ((a-b)^2), ponieważ:
[
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2,
]
natomiast we wzorze na sumę sześcianów mamy tylko (-ab).
Przykład 1: suma liczby i sześcianu zmiennej
Rozłóżmy na czynniki:
[
x^3+8.
]
Liczbę 8 zapisujemy jako:
[
8=2^3.
]
Zatem:
[
x^3+8=x^3+2^3.
]
Korzystamy ze wzoru:
[
x^3+8=(x+2)(x^2-2x+4).
]
Przykład 2: suma dwóch sześcianów jednomianów
Rozłóżmy:
[
27x^3+64y^3.
]
Rozpoznajemy:
[
27x^3=(3x)^3,\qquad 64y^3=(4y)^3.
]
Dlatego:
[
27x^3+64y^3=(3x+4y)(9x^2-12xy+16y^2).
]
W środkowym składniku drugiego nawiasu mnożymy podstawy sześcianów:
[
(3x)(4y)=12xy.
]
Różnica sześcianów
Wzór na różnicę sześcianów ma postać:
[
a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2).
]
Pierwszy nawias zawiera różnicę podstaw, a wszystkie składniki drugiego nawiasu są dodatnie. Drugi czynnik bywa nazywany niepełnym kwadratem sumy. Różnica sześcianów jest często wykorzystywana do rozkładu wielomianu, skracania ułamków algebraicznych i rozwiązywania równań.
Przykład 1: różnica sześcianu zmiennej i liczby
Rozłóżmy:
[
x^3-125.
]
Ponieważ:
[
125=5^3,
]
mamy:
[
x^3-125=x^3-5^3.
]
Stąd:
[
x^3-125=(x-5)(x^2+5x+25).
]
Przykład 2: współczynniki i dwie zmienne
Rozłóżmy:
[
8x^3-27y^3.
]
Zapisujemy:
[
8x^3=(2x)^3,\qquad 27y^3=(3y)^3.
]
Otrzymujemy:
[
8x^3-27y^3=(2x-3y)(4x^2+6xy+9y^2).
]
Jak wyprowadzić wzór na sześcian sumy?
Zapamiętanie wzoru jest łatwiejsze, gdy wiadomo, skąd się bierze. Zaczynamy od definicji trzeciej potęgi:
[
(a+b)^3=(a+b)(a+b)(a+b).
]
Najpierw mnożymy dwa pierwsze nawiasy:
[
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2.
]
Następnie:
[
(a^2+2ab+b^2)(a+b).
]
Mnożymy każdy składnik pierwszego nawiasu przez każdy składnik drugiego:
[
a^3+a^2b+2a^2b+2ab^2+ab^2+b^3.
]
Redukujemy wyrazy podobne:
[
a^3+3a^2b+3ab^2+b^3.
]
Współczynnik 3 pojawia się dlatego, że podczas mnożenia otrzymujemy trzy jednakowe składniki typu (a^2b) i trzy składniki typu (ab^2).
Analogicznie można wyprowadzić wzór na sześcian różnicy, zastępując (b) przez (-b).
Jak sprawdzić wzory na sumę i różnicę sześcianów?
Wzory na sumę i różnicę sześcianów można zweryfikować przez wymnożenie nawiasów.
Dla różnicy:
[
(a-b)(a^2+ab+b^2)
]
otrzymujemy:
[
a(a^2+ab+b^2)-b(a^2+ab+b^2).
]
Po wymnożeniu:
[
a^3+a^2b+ab^2-a^2b-ab^2-b^3.
]
Wyrazy mieszane redukują się:
[
a^3-b^3.
]
Dla sumy:
[
(a+b)(a^2-ab+b^2)
]
po wymnożeniu również znikają wyrazy mieszane i pozostaje:
[
a^3+b^3.
]
Takie sprawdzenie jest przydatne, gdy nie pamiętamy znaku przy składniku (ab).
Dlaczego we wzorach pojawiają się liczby 1, 3, 3, 1?
Współczynniki w rozwinięciu ((a+b)^3) nie są przypadkowe. Można je odczytać z trójkąta Pascala. Kolejne wiersze tego trójkąta zaczynają się i kończą liczbą 1, a każda liczba wewnętrzna jest sumą dwóch liczb znajdujących się nad nią.
Dla trzeciej potęgi otrzymujemy:
[
1,\quad 3,\quad 3,\quad 1.
]
Dlatego:
[
(a+b)^3=1\cdot a^3+3\cdot a^2b+3\cdot ab^2+1\cdot b^3.
]
Suma wykładników przy (a) i (b) w każdym składniku zawsze wynosi 3. Przykładowo w wyrażeniu (3a^2b) mamy (2+1=3), a w (3ab^2) również (1+2=3). Ta kontrola pozwala szybko zauważyć błędnie zapisany składnik.
Ten schemat jest szczególnym przypadkiem wzoru dwumianowego, który opisuje rozwinięcie ((a+b)^n) dla dowolnej naturalnej potęgi (n). Przy nauce wzorów trzeciego stopnia nie trzeba jednak znać całego uogólnienia. Wystarczy rozumieć, skąd biorą się współczynniki oraz zmieniające się wykładniki.
Jak rozpoznać właściwy wzór?
Dobór wzoru warto rozpocząć od sprawdzenia, gdzie znajduje się potęga trzecia.
Potęga obejmuje cały nawias
Przykłady:
[
(x+5)^3,\qquad (2a-b)^3.
]
Tutaj rozwijamy sześcian sumy lub różnicy. Wynik będzie sumą czterech składników.
Potęgi znajdują się przy dwóch osobnych składnikach
Przykłady:
[
x^3+27,\qquad 8a^3-b^3.
]
Tutaj szukamy sumy albo różnicy sześcianów i rozkładamy wyrażenie na iloczyn dwóch nawiasów.
Wyrażenie ma cztery składniki
Przykład:
[
x^3+6x^2+12x+8.
]
Może to być rozwinięty sześcian dwumianu. Pierwszy i ostatni składnik są sześcianami:
[
x^3=(x)^3,\qquad 8=2^3.
]
Sprawdzamy wyrazy środkowe:
[
3x^2\cdot2=6x^2,
]
[
3x\cdot2^2=12x.
]
Zatem:
[
x^3+6x^2+12x+8=(x+2)^3.
]
Samo występowanie czterech składników nie wystarcza. Wszystkie elementy muszą pasować do jednego wzoru.
Stosowanie wzorów krok po kroku
Najbezpieczniejsza metoda obejmuje pięć etapów.
1. Rozpoznaj strukturę
Sprawdź, czy masz sześcian nawiasu, czy sumę albo różnicę dwóch sześcianów.
2. Ustal, czym są (a) i (b)
W wyrażeniu:
[
(2x-5y)^3
]
należy przyjąć:
[
a=2x,\qquad b=5y.
]
Całe jednomiany są podstawami potęg.
3. Zapisz wzór przed podstawieniem
Nie próbuj wykonywać wszystkiego w pamięci. Najpierw zapisz:
[
(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3.
]
Dopiero potem wstaw odpowiednie wyrażenia.
4. Zachowaj nawiasy
Pisz:
[
(2x)^3,\qquad (5y)^2,
]
a nie od razu (2x^3) czy (5y^2). Nawias przypomina, że potęga dotyczy zarówno liczby, jak i zmiennej.
5. Uprość wynik
Oblicz potęgi współczynników, pomnóż liczby i uporządkuj jednomiany. Dopiero na końcu redukuj wyrazy podobne, jeśli takie się pojawią.
Przykłady zastosowania wzorów 3. stopnia
Upraszczanie wyrażenia
Uprośćmy:
[
(x+1)^3-(x-1)^3.
]
Rozwijamy oba sześciany:
[
(x+1)^3=x^3+3x^2+3x+1,
]
[
(x-1)^3=x^3-3x^2+3x-1.
]
Odejmujemy cały drugi wielomian:
[
x^3+3x^2+3x+1-(x^3-3x^2+3x-1).
]
Po zmianie znaków i redukcji:
[
6x^2+2.
]
Kluczowe jest postawienie nawiasu przy odejmowanym wielomianie. Bez niego łatwo zmienić tylko pierwszy znak zamiast wszystkich.
Obliczanie wartości liczbowej
Obliczmy:
[
101^3.
]
Zapisujemy:
[
101^3=(100+1)^3.
]
Korzystamy ze wzoru:
[
100^3+3\cdot100^2\cdot1+3\cdot100\cdot1^2+1^3.
]
Czyli:
[
1,000,000+30,000+300+1=1,030,301.
]
Wzory na sześcian sumy i różnicy można wykorzystywać do obliczania potęg liczb położonych blisko pełnych dziesiątek lub setek. Takie przykłady pojawiają się również w materiałach ZPE.
Rozkład wielomianu na czynniki
Rozłóżmy:
[
2x^4-16x.
]
Najpierw wyłączamy wspólny czynnik:
[
2x(x^3-8).
]
Następnie rozpoznajemy różnicę sześcianów:
[
x^3-8=x^3-2^3=(x-2)(x^2+2x+4).
]
Ostatecznie:
[
2x^4-16x=2x(x-2)(x^2+2x+4).
]
Ten przykład pokazuje, że wzór skróconego mnożenia nie zawsze stosuje się jako pierwszy krok. Czasem wcześniej trzeba wyłączyć wspólny czynnik przed nawias.
Rozwiązywanie równania
Rozwiążmy:
[
x^3-64=0.
]
Przenoszenie składników nie jest potrzebne, ponieważ lewa strona jest już różnicą sześcianów:
[
x^3-4^3=0.
]
Rozkładamy:
[
(x-4)(x^2+4x+16)=0.
]
Pierwszy czynnik daje:
[
x=4.
]
Drugi czynnik nie ma rzeczywistych miejsc zerowych, ponieważ jego wyróżnik wynosi:
[
\Delta=4^2-4\cdot1\cdot16=16-64=-48.
]
Jedynym rozwiązaniem rzeczywistym jest więc:
[
x=4.
]
Skracanie ułamka algebraicznego
Uprośćmy:
[
\frac{x^3-8}{x-2}.
]
Rozkładamy licznik:
[
x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4).
]
Dla (x\neq2) możemy skrócić czynnik (x-2):
[
\frac{(x-2)(x^2+2x+4)}{x-2}=x^2+2x+4.
]
Warunek (x\neq2) musi pozostać, ponieważ w wyjściowym ułamku mianownik nie może być równy zeru.
Wzory trzeciego stopnia z pierwiastkami
Pierwiastki nie zmieniają samego wzoru. Trzeba jedynie prawidłowo wykonywać potęgowanie.
Rozwińmy:
[
(\sqrt{2}+1)^3.
]
Przyjmujemy:
[
a=\sqrt{2},\qquad b=1.
]
Zatem:
[
(\sqrt{2}+1)^3=(\sqrt{2})^3+3(\sqrt{2})^2+3\sqrt{2}+1.
]
Ponieważ:
[
(\sqrt{2})^2=2,\qquad (\sqrt{2})^3=2\sqrt{2},
]
otrzymujemy:
[
2\sqrt{2}+6+3\sqrt{2}+1=7+5\sqrt{2}.
]
W drugą stronę można zauważyć, że:
[
7+5\sqrt{2}=(1+\sqrt{2})^3.
]
Takie rozpoznanie bywa wykorzystywane przy upraszczaniu pierwiastków sześciennych, na przykład:
[
\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}}=1+\sqrt{2}.
]
Należy jednak najpierw sprawdzić rozwinięcie. Nie każda liczba w podobnej postaci jest sześcianem prostej sumy.
Najczęstsze błędy
Pomijanie wyrazów mieszanych
Błędny zapis:
[
(a+b)^3=a^3+b^3.
]
Prawidłowo:
[
(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3.
]
Wyrazy mieszane znikają dopiero w specjalnych przypadkach, na przykład gdy (a=0) lub (b=0).
Niewłaściwe znaki w sześcianie różnicy
Błędnie:
[
(a-b)^3=a^3-3a^2b-3ab^2-b^3.
]
Prawidłowo:
[
(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3.
]
Znaki zmieniają się naprzemiennie.
Mylenie sześcianu sumy z sumą sześcianów
[
(a+b)^3
]
jest potęgą całego nawiasu, natomiast:
[
a^3+b^3
]
jest sumą dwóch oddzielnych potęg. Pierwsze wyrażenie rozwijamy do czterech składników, a drugie rozkładamy na iloczyn dwóch nawiasów.
Gubienie współczynnika podczas potęgowania
[
(2x)^3=8x^3,
]
a nie (2x^3).
Podobnie:
[
(3a)^2=9a^2,
]
a nie (3a^2).
Użycie wzoru bez pełnych sześcianów
Wyrażenie:
[
x^3+4
]
nie jest sumą sześcianów wielomianów o całkowitych współczynnikach, ponieważ 4 nie jest sześcianem liczby całkowitej. Formalnie można zapisać (4=(\sqrt[3]{4})^3), lecz taki rozkład zwykle nie upraszcza zadania.
Skracanie składników zamiast czynników
W ułamku:
[
\frac{x^3-8}{x-2}
]
nie wolno „skrócić” (x) z (x^3) ani 2 z 8. Skracanie jest możliwe dopiero po rozkładzie licznika na iloczyn i wydzieleniu wspólnego czynnika (x-2).
Jak zapamiętać cztery wzory?
Sześcian sumy można zapamiętać jako ciąg:
[
a^3,\quad 3a^2b,\quad 3ab^2,\quad b^3.
]
W pierwszej zmiennej wykładnik maleje: (3,2,1,0). W drugiej rośnie: (0,1,2,3). Współczynniki to (1,3,3,1).
Sześcian różnicy ma identyczne składniki, ale znaki występują naprzemiennie:
[
+,-,+,-.
]
Przy sumie i różnicy sześcianów pomaga reguła znaków:
- w pierwszym nawiasie pozostaje taki sam znak jak w wyjściowym wyrażeniu;
- w drugim nawiasie znak przy (ab) jest przeciwny;
- składniki (a^2) i (b^2) są zawsze dodatnie.
Dlatego:
[
a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2),
]
a:
[
a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2).
]
Najlepszą metodą utrwalenia nie jest jednak samo powtarzanie zapisu, lecz wykonywanie krótkich przykładów w obu kierunkach: rozwijania nawiasów oraz rozkładania wielomianów na czynniki.
Zadania do samodzielnego rozwiązania
Zadanie 1
Rozwiń:
[
(x+3)^3.
]
Odpowiedź:
[
x^3+9x^2+27x+27.
]
Zadanie 2
Rozwiń:
[
(2x-1)^3.
]
Odpowiedź:
[
8x^3-12x^2+6x-1.
]
Zadanie 3
Rozłóż na czynniki:
[
x^3+125.
]
Odpowiedź:
[
(x+5)(x^2-5x+25).
]
Zadanie 4
Rozłóż na czynniki:
[
64a^3-b^3.
]
Odpowiedź:
[
(4a-b)(16a^2+4ab+b^2).
]
Zadanie 5
Uprość:
[
(x+2)^3+(x-2)^3.
]
Odpowiedź:
[
2x^3+24x.
]
Zadanie 6
Rozwiąż równanie:
[
x^3+27=0.
]
Odpowiedź:
[
x=-3.
]
Po rozkładzie:
[
(x+3)(x^2-3x+9)=0.
]
Drugi czynnik nie ma rzeczywistych miejsc zerowych.
Podsumowanie
Wzór skróconego mnożenia 3. stopnia nie jest jednym wzorem, lecz grupą czterech tożsamości: na sześcian sumy, sześcian różnicy, sumę sześcianów i różnicę sześcianów. Dwa pierwsze rozwijają potęgę nawiasu, a dwa kolejne pozwalają rozłożyć sumę algebraiczną na czynniki.
Najważniejsze jest rozpoznanie struktury wyrażenia. Dla ((a\pm b)^3) wynik ma cztery składniki i współczynniki (1,3,3,1). Dla (a^3\pm b^3) wynikiem jest iloczyn dwóch nawiasów. Poprawne podstawienie całych jednomianów za (a) i (b), zachowanie nawiasów oraz kontrola znaków pozwalają uniknąć większości błędów.
FAQ
Jak brzmi wzór na sześcian sumy?
Wzór na sześcian sumy to ((a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3). Wynik zawiera cztery składniki. Potęga (a) stopniowo maleje, a potęga (b) rośnie. Współczynniki wynoszą kolejno (1,3,3,1), dlatego nie wolno pomijać dwóch środkowych wyrazów.
Jak brzmi wzór na sześcian różnicy?
Sześcian różnicy zapisujemy jako ((a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3). Znaki występują naprzemiennie: plus, minus, plus, minus. Szczególnie łatwo pomylić znak trzeciego składnika, który mimo minusa w nawiasie pozostaje dodatni.
Czym różni się sześcian sumy od sumy sześcianów?
Sześcian sumy to ((a+b)^3) i po rozwinięciu ma cztery składniki. Suma sześcianów to (a^3+b^3), czyli suma dwóch oddzielnych potęg, którą można rozłożyć jako ((a+b)(a^2-ab+b^2)). Tych zapisów nie wolno traktować jako równoważnych.
Jak rozłożyć różnicę sześcianów?
Najpierw należy zapisać oba składniki jako pełne sześciany. Następnie stosuje się wzór (a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)). Przykładowo (x^3-27=x^3-3^3=(x-3)(x^2+3x+9)). Wszystkie składniki drugiego nawiasu są dodatnie.
Jak rozłożyć sumę sześcianów?
Dla sumy sześcianów stosujemy równość (a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)). Znak w pierwszym nawiasie pozostaje dodatni, natomiast w drugim przed iloczynem (ab) pojawia się minus. Na przykład (x^3+8=(x+2)(x^2-2x+4)).
Czy wzory skróconego mnożenia działają z pierwiastkami?
Tak. Za (a) i (b) można podstawić także wyrażenia zawierające pierwiastki, o ile działania są określone. Trzeba poprawnie obliczać ich potęgi. Przykładowo ((\sqrt{2}+1)^3=7+5\sqrt{2}), ponieważ ((\sqrt{2})^2=2) i ((\sqrt{2})^3=2\sqrt{2}).
Jak najszybciej nauczyć się wzorów trzeciego stopnia?
Najpierw warto zrozumieć schemat wykładników i znaków, a później ćwiczyć stosowanie wzorów w obu kierunkach. Pomocne jest codzienne rozwiązanie kilku krótkich przykładów: rozwinięcie sześcianu nawiasu, rozkład sumy lub różnicy sześcianów oraz jedno zadanie z równaniem albo ułamkiem algebraicznym.
